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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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\title[期权定价的连续模型]{《金融数学》第4章：期权定价的连续模型}
%\author{ZFW}
%\author[]{LQW}
%\institute[XX大学]{XX大学\quad 数学与统计学院\quad 数学与应用数学专业}
%\date{2025年6月}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}

% 封面页
\begin{frame}
  \titlepage
\end{frame}

% 目录页
%\begin{frame}{目录}
%  \tableofcontents
%\end{frame}

%\maketitle

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{目录}

\begin{itemize}
\item 4.1. { Black-Scholes} 公式
\begin{itemize}
\item 4.1.1. { Black-Scholes} 方程的导出
\item 4.1.2. { Black-Scholes} 公式：偏微分方程方法
\item 4.1.3. { Black-Scholes} 公式：概率论方法
\end{itemize}
\item 4.2. 推广的 { Black-Scholes} 模型
\item 4.3. 有交易成本的欧式期权定价公式
\item 4.4. 永久美式期权
\item 4.5. 障碍期权
\item 4.6. 参数与风险管理
\end{itemize}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.1.1.1. 期权定价的 { BS} 模型的基本假设 }

\begin{enumerate}
\item 股票价格服从几何布朗运动：
\[ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t. \]
\item 无交易费用和税收。
\item 无风险利率 $r$ 是常数，且股票不支付股息。
\item 投资者可按无风险利率任意地借入或贷出，无卖空限制。
\item 市场无套利机会。
\end{enumerate}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.1.1.2. 导出 { BS} 方程-1：三类资产的价格过程 }

\begin{enumerate}
\item[(1)] 无风险资产和风险资产的演化过程满足方程：
\begin{itemize}
\item 股票：$dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t$.
\item 债券：$dB_t = rB_tdt$.
\item 期权：$dV_t = dV(S_t,t)$ 这里要用 { Ito} 公式。
\end{itemize}

\item[(2)] 期权价格是 $S_t$ 和 $t$ 的函数，由 { Ito} 公式，其增量的规律为 
\begin{eqnarray*}
%dV_t &=& \left( \frac{\partial V}{\partial t} +\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} \right)dt + \frac{\partial V}{\partial S}dS \\
%dV_t &=& \left( V_2 +\frac{1}{2}\sigma^2S^2V_{11} \right)dt + V_1dS \\
dV_t &=& \left( \frac{\partial V}{\partial t} +\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} 
+ \mu S \frac{\partial V}{\partial S} \right){\color{blue}dt} + \sigma S \frac{\partial V}{\partial S} {\color{blue}dW_t} \\
&=:& \mu_t^\Pi V_t{\color{blue}dt} + \sigma_t^\Pi V_t {\color{blue}dW_t}
\end{eqnarray*}

\end{enumerate}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.1.1.3. 导出 { BS} 方程-2：股票与期权的投资组合 }

\begin{enumerate}
\item[(3)] 设在 $t$ 时刻，投资在股票 $S$ 与期权 $V$ 上的金额分别为 $h_t^1$ 与 $h_t^2$, \\
股数分别为 $\frac{h_t^1}{S_t}$ 与 $\frac{h_t^2}{V_t}$. 
在 $t$ 时刻的总资产为 $$\Pi_t = h_t^1 + h_t^2.$$
\item[(4)] 从 $t$ 时刻到 $t+dt$ 时刻，该投资组合的收益的变化是 
\begin{eqnarray*}
d\Pi_t = \frac{h_t^1}{S_t}dS_t + \frac{h_t^2}{V_t}dV_t 
= (\mu h_t^1+\mu_t^\Pi h_t^2)dt + (\sigma h_t^1+\sigma_t^\Pi h_t^2) dW_t
\end{eqnarray*}

\item[(5)] 若相同金额投资于无风险资产，则收益是 
\[ d\Pi_t = r\Pi_t dt. \]

%\item[(5)] 设 $V_t = V(S_t,t)$, 由 Ito 公式写出 $dV_t$ 的展开，从而将 $d\Pi_t$ 写成 $dt$ 和 $dW_t$ 的组合。
\end{enumerate}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.1.1.4. 导出 { BS} 方程-3：使用无套利假设 }

\begin{enumerate}

\item[(6)] 由无套利假设，(4)和(5)的收益相等，从而得到联立方程组：
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{rcl}
\mu h_t^1+\mu_t^\Pi h_t^2 &=& r(h_t^1+ h_t^2), \\
\sigma h_t^1+\sigma_t^\Pi h_t^2 &=& 0. 
\end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\item[(7)] 看作 $h_t^1,h_t^2$ 的线性方程组，因为有非零解，所以其系数行列式等于零：
\begin{eqnarray*}
\begin{vmatrix} \mu-r & \mu_t^\Pi-r \\ \sigma & \sigma_t^\Pi \end{vmatrix} =0. 
\end{eqnarray*}

\item[(8)] 将 $\mu_t^\Pi$ 与 $\sigma_t^\Pi$ 写回原来的表达式，导出下述BS方程：
\[ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + rS \frac{\partial V}{\partial S} - rV =0. \] 

\end{enumerate}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.1.2.1. 偏微分方法-1：边际条件与自变量变换 }

\begin{enumerate}
\item[(1)] 待求函数 $V(S,t)$ 的定义区域为 $0\le S<\infty, \,\,\, 0\le t\le T$. 

\item[(2)] 设欧式看涨期权的敲定价格为 $X$, 则边际条件为 
\[ V(S,T)=(S-X)^+. \]  

\item[(3)] 自变量作变换：$x=\ln S, \tau = T-t$, 即
\[(S,t) \leftrightarrow (x,\tau)\]
原方程化为常系数抛物型偏微分方程的初值问题。

\end{enumerate}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.1.2.2. 偏微分方法-2：应变量变换与泊松公式 }

\begin{enumerate}
\item[(4)] 应变量作变换：$V(x,\tau)=u(x,\tau)e^{\alpha\tau+\beta x}$. 适当选取 $\alpha$ 与 $\beta$, 原方程化为标准的热传导方程：
\begin{eqnarray*}
\left\{\begin{array}{l}
\frac{\partial u}{\partial\tau} = a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} \\
u(x,0) = \Phi(x)
\end{array}\right.
\quad 
\left\{\begin{array}{l} a:=\frac{\sigma^2}{2}\\  \Phi(x):=e^{-\beta x} (e^x-X)^+. \end{array}\right.
\end{eqnarray*}

\item[(5)] 由泊松公式，上述标准方程的解为
\[ u(x,\tau) = \frac{1}{2a\sqrt{\pi \tau}} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\frac{(x-\xi)^2}{4a^2t}}\Phi(\xi)d\xi. \]
%\item 

\end{enumerate}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.1.2.3. 偏微分方法-3：代回原变量 }

\begin{enumerate}
\item[(6)] 代回原变量，得出BS定价公式：
\begin{eqnarray*}
V(S,t) = SN(d_1)-Xe^{-r(T-t)}N(d_2).
\end{eqnarray*}
\item[(7)] 符号说明：
\begin{eqnarray*}
d_1 &=& \frac{\ln(S/X)+ (r+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \\
d_2 &=& \frac{\ln(S/X)+ (r-\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} \\
N(d) &=& \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{d} e^{-\frac{\xi^2}{2}}d\xi 
\end{eqnarray*}
\end{enumerate}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.1.3.1. 概率论方法-1: 股票价格模型 }

\begin{enumerate}
\item[(1)] 设概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},P)$. 设股票价格服从几何布朗运动 
\[ dS_t = \mu S_t dt + \sigma S_t dW_t. \]
其中 $W$ 在测度 $P$ 下是标准布朗运动。

\item[(2)] 记 $\theta=(\mu-r)/\sigma$, 记 $d\tilde{W}_t=\theta dt + dW_t$, 则有 
\[ dS_t=r S_tdt + \sigma S_t d\tilde{W}_t. \]
需要另一个测度，使得 $\tilde{W}$ 在这个测度下成为标准布朗运动。

\end{enumerate}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.1.3.2. 概率论方法-2: 测度变换 }

\begin{enumerate}
\item[(3)] 在如下定义的测度 $Q$ 下，$\{\tilde{W}_t;\,\, t\in [0,T]\}$ 成为标准布朗运动：
\[  \frac{dQ}{dP}=Z_T, \quad Z_t=\exp\left(-\int_0^t\theta d\tilde{W}_s -\frac{1}{2}\int_0^t \theta^2 ds \right). \]
\item[(4)] 在概率空间 $(\Omega,\mathcal{F},Q)$ 中，下述贴现的股票价格是个鞅：
 \[ \{e^{-rt}S_t;\,\, t\in [0,T]\}. \]
 
\item[(5)] 设在 $t$ 时刻，股票的价格为 $S$, 此时的欧式看涨期权的价格为 
\[ V(S,t)=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^Q [(S_T-X)^+\,|\, S_t=S]. \]

\end{enumerate}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.1.3.3. 概率论方法-3: 描述到期日的股票价格 }

\begin{enumerate}

\item[(6)] 使用 { Ito} 公式，将 $d\ln S$ 写成 $dt$ 和 $d\tilde{W}_t$ 的组合
\begin{eqnarray*}
d\ln S_t &=& S_t^{-1}dS_t + 2^{-1}(-S_t^{-2}) (dS_t)^2 \\
 &=& (r-\sigma^2/2) dt + \sigma d\tilde{W}_t.
\end{eqnarray*}

\item[(7)] 上述两边从 $t$ 到 $T$ 积分，得到的 $S_T$ 是一个几何布朗运动：
\begin{eqnarray*}
\ln S_T - \ln S_t &=& (r-\sigma^2/2) t + \sigma (\tilde{W}_T-\tilde{W}_t) \\
S_T &=& S_t \exp \left[ (r-\sigma^2/2)(T-t) + \sigma (\tilde{W}_T-\tilde{W}_t) \right]. 
\end{eqnarray*}
其中体现随机性的项 $\tilde{W}_T-\tilde{W}_t$ 服从正态分布 $N(0,T-t)$. 
\end{enumerate}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.1.3.4. 概率论方法-4: 计算期权收益的期望 }

\begin{itemize}

\item[(8)] 复习随机变量的函数的期望公式，其中 $f_X(x)$ 是 $X$ 的密度函数。
\[ \mathbb{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)f_X(x)dx. \]

\item[(9)] 计算期权在到期日的收益的期望，再贴现到 $t$ 时刻：
\begin{eqnarray*}
V(S,t) &=& e^{-r(T-t)} \mathbb{E}^Q [(S_T-X)^+\,|\, S_t=S] \\
&=& e^{-r(T-t)} \int_{-\infty}^{\infty} \left[ S_t e^{(r-\sigma^2/2)(T-t) + \sigma z\sqrt{T-t}} - X\right]^+ \varphi(z)dz.
\end{eqnarray*}
其中 $\varphi(z)$ 是标准正态分布的密度函数。
\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.2. 推广的 { Black-Scholes} 模型（发展历史） }

\begin{itemize}

\item  1973年：{ Black-Scholes-Merton}
\item  1976年：{ Merton}
\item  1985年：{ Leland}
\item  1987年：{ Hull}
\item  1993年：{ Heston}
\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.2.  }

\begin{itemize}

\item  设红利率为 $q(t)$, 无风险利率为 $r(t)$, 波动率为 $\sigma(t)$, 预期收益率为 $\mu(t)$. 
\item  设股价遵循几何布朗运动 $dS_t = \mu(t)S_tdt + \sigma(t)S_tdW_t$. 
\item  构造投资组合 $\Pi_t = V_t - \Delta_tS_t$, 选取 $\Delta$, 使得该投资组合是无风险的。
\item  推导得出有红利的欧式期权定价的 { BS} 方程为
\[ \frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\sigma^2(t)S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (r(t)-q(t))S \frac{\partial V}{\partial S} - r(t)V =0. \] 
\item  求解得出有红利的欧式看涨期权的定价公式为
$$c(S,t)=S\exp\left[ -\int_t^Tq(\nu)d\nu \right] N(d_1) - X\exp\left[ -\int_t^Tr(\nu)d\nu \right] N(d_2).$$

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.3. 有交易成本的欧式期权的定价公式 }

\begin{itemize}

\item  假设：
\begin{itemize}
\item  波动率 $\sigma(t)$, 红利率 $q(t)$, 无风险利率 $r(t)$. 
\item  股票价格遵循几何布朗运动 $dS_t = \mu(t) S_tdt + \sigma(t)S_tdW_t$. 
\item  交易成本因买卖股票而产生，设为交易额的固定比例 $M$.  
\end{itemize}

\item  建立模型：
\begin{enumerate}
\item  设期权定价为 $V(S_t,t)$, 由 Ito 公式，从 $dS_t$ 写出 $dV$ 的表达式。 
\item  写出 $\delta t$ 时间内，$\delta S$ 和 $\delta V$ 的表达式。
\item  构造投资组合 $\Pi = V-\Delta S$. 
\item  写出 $\delta \Pi$ 的表达式，其中有交易份额 $\omega$. 
\item  计算交易成本 $MS|\omega|$ 的数学期望。
\item  根据无套利原理，写出关于 $V(S,t)$ 的偏微分方程。
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.3.  }

\begin{itemize}

\item  欧式看涨期权的定价方程：
$$\frac{\partial V}{\partial t} + \frac{1}{2}\left( \sigma^2(t) - 2M\sigma(t) \sqrt{\frac{1}{\delta t}} \right) S^2 \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}
+(r(t)-q(t))S\frac{\partial V}{\partial S} - r(t)V =0. $$

\item  欧式看涨期权的定价公式：
$$c(S,t)=S\exp\left[ -\int_t^Tq(\nu)d\nu \right] N(d_1) - X\exp\left[ -\int_t^Tr(\nu)d\nu \right] N(d_2).$$


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.4. 永久美式期权 }

\begin{itemize}

\item  永久美式期权没有到期日，持有者可以在任何时刻实施期权，即到期日 $T=\infty$. 

\item  以看涨期权为例：
\begin{itemize}
\item  持有区域：$V(S)>(S-X)^+$. 终止区域：$V(S)=(S-X)^+$. 
\item  当 $S$ 充分大时，应立即实施。
\item  存在最佳实施边界 $S_0$ 使得持有区域为 $\Sigma_1=\{0\le S<S_0\}$, 终止区域为 $\Sigma_2=\{S_0\le S<\infty\}$. 
\end{itemize}

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.4.  }

\begin{itemize}

\item  永久美式看涨期权的定解问题：
\begin{eqnarray*}
\left\{ \begin{array}{rcl}
\mathcal{L} V &=& \frac{\sigma^2}{2}S^2\frac{\partial^2 V}{\partial S^2} + (r-q)S\frac{\partial V}{\partial S} -rV=0, \,\, 0<S<S_0, \\
V(S_0) &=& S_0 - X, \\ 
V'(S_0) &=& 1, \\ 
V(0) &=& 0. 
\end{array}\right. 
\end{eqnarray*}

\item  这是一个自由边界问题，求解 $V(S)$ 与最佳实施边界 $S_0$ 是同时进行的。

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.4.  }

\begin{itemize}

\item  定理4.4.1. 支付红利的永久美式看涨期权的定解问题的解为
\begin{eqnarray*}
V &=& \frac{1}{\lambda_+} \left( \frac{X}{1-1/\lambda_+} \right)^{1-\lambda_+} S^{\lambda_+}, \\
S_0 &=& \frac{X}{1-1/\lambda_+}, \\
\lambda_+ &=& \lambda(r,q,\sigma).  
\end{eqnarray*}


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.5. 障碍期权 }

\begin{itemize}

\item  障碍期权是一种依赖于标的资产价格路径的期权，当原生资产价格触及规定的障碍时，期权合约生效或失效。

\item  开始于1960年代末。

\item  敲出期权：当原生资产的价格触及规定的障碍时，期权合约失效。

\item  敲入期权：当原生资产的价格触及规定的障碍时，期权合约生效。

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.5.1. 欧式障碍期权 }

\begin{itemize}

\item  欧式看涨障碍期权的最终收益：

\begin{table}
\begin{tabular}{|p{3cm}|p{5cm}|}\hline 
障碍类型 & 收益 \\ \hline 
{ down-and-out} & $(S_T-X)^+ I_{\{S_t>B, t\in [0,T]\}}$ \\ \hline 
{ up-and-out} & $(S_T-X)^+ I_{\{S_t<B, t\in [0,T]\}}$ \\ \hline 
{ down-and-in} & $(S_T-X)^+ [1-I_{\{S_t>B, t\in [0,T]\}}]$ \\ \hline 
{ up-and-in} & $(S_T-X)^+ [1-I_{\{S_t<B, t\in [0,T]\}}]$ \\ \hline 
\end{tabular}
\end{table}

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.5.2. 双障碍期权 }
 
\begin{itemize}

\item  双障碍期权有上障碍 $U$ 和下障碍 $L$. 

\item  当股票的初始价格 $S_0$ 不在两个障碍 $L,U$ 之间，有四种双障碍期权。
\begin{enumerate}
\item  上升敲入，
\item  上升敲出，
\item  下降敲入，
\item  下降敲出。
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.5.2.  }

\begin{itemize}

\item  当股票的初始价格 $S_0$ 在两个障碍 $L,U$ 之间，有六种双障碍期权。
\begin{enumerate}
\item  双边敲出，
\item  双边敲入，
\item  下降敲入但上升敲出，
\item  上升敲入但下降敲出，
\item  下降敲出但上升敲入，
\item  上升敲出但下降敲入。
\end{enumerate}


\item  双障碍期权的定价问题，可以转化为单障碍期权的定价问题。


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.5.3. 彩虹障碍期权 }

\begin{itemize}

\item  彩虹障碍期权也称为外部障碍期权。
\item  收益依赖于两个标的资产的价格，障碍资产 $S_1$ 和收益资产 $S_2$.  
\item  障碍资产 $S_1$ 决定期权是否敲入或敲出，收益资产 $S_2$ 决定期权的收益。
\item  彩虹上升敲出看涨期权：如果资产价格过程 $S_1$ 没有达到障碍 $B$, 则在 $T$ 时刻的收益为 $(S_{2T}-X)^+$. 

\item  两个资产的价格过程：
\begin{eqnarray*}
dS_{1t} &=& (r-q_1)S_{1t}dt + \sigma_1 S_{1t}dW_{1t}, \\
dS_{2t} &=& (r-q_2)S_{2t}dt + \rho\sigma_2 S_{2t}dW_{1t} + \sqrt{1-\rho^2} \sigma_2 S_{2t} dW_{2t}.
\end{eqnarray*}

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.6. 参数和风险管理 }

\begin{itemize}

\item  { Delta} 是期权价格 $V$ 对其标的资产 $S$ 的变化率，即 $$\Delta = \frac{\partial V}{\partial S}. $$ 

\item  { Gamma} 是 { Delta} 对标的资产 $S$ 的变化率，即 $$\Gamma = \frac{\partial \Delta}{\partial S} = \frac{\partial^2 V}{\partial S^2}. $$ 

\item  { Theta} 是期权价格随时间的变化率，即 $$\Theta = \frac{\partial V}{\partial t}. $$

\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {4.6.  }

\begin{itemize}

\item  { Vega} 是期权价格对标的资产波动率的变化率，即 $$\mathcal{V} = \frac{\partial V}{\partial \sigma}. $$

\item  { Rho} 是期权价格对无风险利率的变化率，即 $$\rho = \frac{\partial V}{\partial r}. $$


\end{itemize}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame} {作业4 }

\begin{enumerate}
\item 设金融市场由风险资产 $S$ 和无风险资产 $B$ 组成，设期权价格为
\[ V(S_t,t)=\alpha S_t+\beta B_t, \]
其中$\alpha$ 和 $\beta$ 分别表示份额。用复制投资组合的方法推导 { BS} 公式。
\item 设某股票的当前价格为 4.6 元，其欧式看涨期权的敲定价格为 4.5 元，现在距到期时间为一年，股价的年波动率为 0.30，无风险利率为 6\%, 计算该欧式看涨期权的价格。
\item 设某股票的当前价格为 4.3 元，其欧式看跌期权的敲定价格为 3.73元，现在距离到期时间为 0.75 年，股价年波动率为 0.25, 无风险利率为 5\%, 计算该欧式期权的价格。

\end{enumerate}

\end{frame}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{frame}{参考文献}

\begin{thebibliography}{99}

\bibitem{zfw} 张寄洲，傅毅，王杨，金融数学，科学出版社，2015年4月第1版。

\end{thebibliography}

\end{frame}

 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\end{document}

